A arte do ladrilhamento consiste no preenchimento do plano, por moldes, sem superposição ou buracos. Ela existe desde que o homem começou a usar pedras para cobrir o chão e as paredes de sua casa e continuou com a aplicação de cores, desenhos ou figuras para deixar os ladrilhos mais agradáveis. As mais antigas peças de ladrilhos conhecidas datam de 5000 anos a.C. e foram encontradas no Egito. Romanos e outros povos mediterrâneos retratavam pessoas e cenas naturais; mouros e árabes usavam figuras geométricas complexas e entrelaçadas, como se constata na Alhambra, um complexo de palácios de Granada (Espanha) construído, por mouros e cristãos, entre os séculos 13 e 15 e declarado, pela UNESCO, patrimônio da humanidade. O estudo geométrico que apresentamos neste trabalho explica por que ladrilhamentos com motivos semelhantes apareceram em lugares distantes no tempo e no espaço. Apesar da arte ser bem antiga e bem desenvolvida, a ciência é recente, de aproximadamente 100 anos, tendo aspectos que ainda não foram desenvolvidos.
O homem usa essa técnica em uma grande variedade de aplicações: papel de parede, pisos decorativos com cerâmicas ou pedras, pisos e forros de madeira, estamparia de tecidos, malharias e crochês, no empacotamento ou empilhamento de objetos iguais, etc. Na natureza são encontrados em células de tecidos biológicos, nas colméias, no arranjo das escamas de peixes, nas pinhas das coníferas, nos arranjos dos cristais, nas bolhas de sabão, nas trincas das cerâmicas, etc.
Veremos que há apenas 11 tipos de ladrilhamentos do plano euclidiano (no plano hiperbólico há mais, vale a pena estudar!), que usam apenas polígonos regulares e mantêm a mesma distribuição das peças nos vértices; é interessante observar que nenhum deles permite o uso de pentágonos regulares. São possíveis ladrilhamentos com um único molde na forma de qualquer quadrilátero, de alguns tipos de pentágonos irregulares, etc.
Recentemente, em 1973-1974, o físico-matemático inglês Roger Penrose descobriu três conjuntos de mosaicos especiais, chamados aperiódicos, um deles com duas peças denominadas por papagaio e flecha . Em 1989 ele demonstrou que, sob certas regras simples de composição, esse conjunto cobre o plano de uma infinidade não enumerável de maneiras de modo que o ladrilhamento não é a repetição de nenhum padrão.